Нужно выполнить команду, в которой есть кавычки ""

client_cmd(id, " amx_vote "test golosovanie" "var1" "var2" "var3" ")

Я помню, там как-то через символ ^ делать надо, но как точно -- не помню.

Символ ^ нужно ставить перед кавычками, которые нужно экранировать. В твоем случае:
Код:

client_cmd(id, "amx_vote ^"test golosovanie^" ^"var1^" ^"var2^" ^"var3^"");

для файла commandmenu.txt так же делать?

Я не знаю как там выполняется экранирование. Нужен пример из этого файла или сам файл.